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下面的示例筑立了复合变换(先扭转 30 度

【更新时间】2019-09-24

  操纵矩阵进行坐标转换 之前做拓扑图,本来筹算整一套坐标系统正在里面的, 之前做拓扑图,本来筹算整一套坐标系统正在里面的,后出处于时 间缘由临时用了最原始的方式实现。现正在稍稍得闲, 间缘由临时用了最原始的方式实现。现正在稍稍得闲,从头起头思虑这 个问题。不外正在搜刮的时候,不测发觉 个问题。不外正在搜刮的时候,不测发觉Framework 类库中自带 的有实现坐标系转换功能的类。 了一把, 的有实现坐标系转换功能的类。Reflector 了一把,发觉代码看不懂 都是操纵矩阵操做的。 了——都是操纵矩阵操做的。矩阵这玩意儿,几年没用早忘完了。于 都是操纵矩阵操做的 矩阵这玩意儿,几年没用早忘完了。 , 是认实进修了一把 趁便把若何用矩阵进行坐标转换的过程记实和注 解一下。 变换的矩阵暗示形式” 解一下。文中部门内容摘取自 MSDN,搜刮 变换的矩阵暗示形式 ,搜刮“变换的矩阵暗示形式 即可找到。 即可找到。 一下矩阵的根本学问: 起首 review 一下矩阵的根本学问: m×n 矩阵是陈列正在 m 行和 n 列中的一系列数。下图显示几个 列中的一系列数。 矩阵。 矩阵。 能够通过将单个元素相加来加合两个尺寸不异的矩阵。 能够通过将单个元素相加来加合两个尺寸不异的矩阵。下图显示 了两个矩阵相加的示例。 了两个矩阵相加的示例。 m×n 矩阵可取一个 n×p 矩阵相乘,成果为一个 m×p 矩阵。 矩阵相乘, 矩阵。 第一个矩阵的列数必需取第二个矩阵的行数不异。例如, 第一个矩阵的列数必需取第二个矩阵的行数不异。例如,一个 4×2 矩阵相乘, 矩阵。 矩阵取一个 2×3 矩阵相乘,发生一个 4×3 矩阵。 矩阵的行列的平面点可视为矢量。例如, 矩阵的行列的平面点可视为矢量。例如,(2, 5) 是具有两个组件 的矢量, , 两个矢量的点积定义如下: 的矢量 (3, 7, 1) 是具有三个组件的矢量 两个矢量的点积定义如下: 。 (a, b) ? (c, d) = ac + bd (a, b, c) ? (d, e, f) = ad + be + cf 例如, 例如,(2, 3) 和 (5, 4) 的点积是 (2)(5) + (3)(4) = 22。 5, 1) 和 。(2, (4, 3, 1) 的点积是 (2)(4) + (5)(3) + (1)(1) = 24。请留意,两个矢量 。请留意, 的点积是数字,而不是另一个矢量。别的请留意, 的点积是数字,而不是另一个矢量。别的请留意,只要当两个矢量的 组件数不异时,才能计较点积。 组件数不异时,才能计较点积。 列的项。例如, ( 将 A(i, j) 做为矩阵 A 中第 i 行、第 j 列的项。例如,A 3, 2) ) 是矩阵 A 中第 3 行、第 2 列的项。假定 A、B 和 C 是矩阵,且 列的项。 、 是矩阵, AB = C,则 C 的项计较如下: 的项计较如下: , C(i, j) =(A 的第 i 行)?(B 的第 j 列) ( ( 下图显示了矩阵相乘的几个示例。 下图显示了矩阵相乘的几个示例。 以第二个等式为例, 以第二个等式为例,假设等式两边的矩阵别离是 a、b、c,1*3 、 、 , 的矩阵相乘, 的矩阵。 的矩阵和 3*2 的矩阵相乘,获得的成果为 1*2 的矩阵。此中 c[0][0] = a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0]+a[0][2]*b[2][0], , c[0][1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1]+a[0][2]*b[2][1]。 。 矩阵的加法、乘法,能够用来做坐标转换。 矩阵的加法、乘法,能够用来做坐标转换。我们凡是利用 3*3(如 如 果不需要扭转, 的矩阵即可)的矩阵来做平面上的各类坐标转 果不需要扭转,则 2*2 的矩阵即可 的矩阵来做平面上的各类坐标转 轴的平移、扭转。 换,包罗 x/y 轴的平移、扭转。现正在来看一个简单的坐标系转换的例 子:假设我们的客户区分辩率是 100*100,要正在客户区核心点画一个 , 点,这个点的坐标是(x, y)。现正在若是我们调整了客户区分辩率为 这个点的坐标是 。 400*300,此时若是还需要连结这个点的相对不变,计较他的坐 ,此时若是还需要连结这个点的相对不变, 标该当是(x 标该当是 * 400 / 100, y * 300 / 100)。这个计较过程很简单,那么 。这个计较过程很简单, 用矩阵操做该当若何来实现呢? 用矩阵操做该当若何来实现呢? 的矩阵, 的矩阵, 我们将这个点视为一个 1*2 的矩阵,将其乘以一个 2*2 的矩阵, 的矩阵,就是新的坐标了。 得出的仍然是一个 1*2 的矩阵,就是新的坐标了。因为屏幕分辩率正在 x、y 轴别离扩大为本来的 4 倍和 3 倍,那么我们只需将点的 x、y 、 、 轴坐标都扩大到本来的 4、3 倍即可。公式如下: 、 倍即可。公式如下: 等式左边的第二个矩阵, 是用来实现坐标转换的矩阵。 等式左边的第二个矩阵,就是用来实现坐标转换的矩阵。此中 b[0][0]就是 x 轴的扩大倍数,b[1][1]就是正在 y 轴上的扩大倍数。这 就是 轴的扩大倍数, 就是正在 轴上的扩大倍数。 里面 b[0][1]和 b[1][0]永久是 0。坐标系的这种转换,叫做线性变换。 和 永久是 。坐标系的这种转换,叫做线性变换。 OK。看完这个例子,是不是感觉用矩阵比间接计较还麻烦?嗯, 。看完这个例子,是不是感觉用矩阵比间接计较还麻烦? 对于这种简单的环境是如许的。不外别急,继续看坐标系扭转的情 对于这种简单的环境是如许的。不外别急, 况,若是现正在要求这个客户区逆时针扭转 30 度,要连结这个点的相 对不变,他的新坐标该当是几多呢? 对不变,他的新坐标该当是几多呢? 通俗的计较的公式就不陈述了,这就是个初中几何标题问题。 通俗的计较的公式就不陈述了,这就是个初中几何标题问题。我们曲 接来看如何通过矩阵操做实现。起首看公式:正在二维空间中, 接来看如何通过矩阵操做实现。起首看公式:正在二维空间中,扭转可 定义。做为商定,正角暗示逆时针扭转。 以用一个单一的角 θ 定义。做为商定,正角暗示逆时针扭转。关于 的矩阵是: 原点逆时针扭转 θ 的矩阵是 也就是说, 度的新坐标就是: 也就是说,逆时针扭转 30 度的新坐标就是: 按照这种方式进行点阵扭转之后, 可能会呈现一些无法笼盖的点, 如 按照这种方式进行点阵扭转之后, 可能会呈现一些无法笼盖的点, 下如所示: 下如所示: 获得下图: 这个卵形颠末 45 度转换之后 获得下图: 值布景,当转换之后呈现了一些没有法则的空白点, 红色为 0 值布景,当转换之后呈现了一些没有法则的空白点,正在地 质建模范畴内,如许的空白点是不克不及接管的,对此,能够通过滑润修 质建模范畴内,如许的空白点是不克不及接管的,对此, 补来完美,可是会发生一些不确定要素,有待完美。 补来完美,可是会发生一些不确定要素,有待完美。 会发生一些不确定要素 当然,除此之外,坐标系还有平移,可是这个就简单了, 当然,除此之外,坐标系还有平移,可是这个就简单了,只是一 个简单的矩阵加法。好比 向左平移一个单元, 个简单的矩阵加法。好比(x, y)向左平移一个单元,用矩阵就是 y] 向左平移一个单元 用矩阵就是[x, + [1, 0]就是是 + 1, y)。 就是是(x 就是是 。 的几个变换 下图显示了使用于点 (2, 1) 的几个变换: 前图中显示的所有变换都是线性变换。某些其他变换(如平移) 前图中显示的所有变换都是线性变换。某些其他变换(如平移) 不是线性的, 不克不及暗示为取 2×2 矩阵相乘的形式。 矩阵相乘的形式。 不是线性的, 假定您要从点 (2, 1) 起头,将其扭转 90 度,正在 x 标的目的将其平移 3 个单元,正在 y 方 起头, 个单元, 个单元。 向将其平移 4 个单元。可通过先利用矩阵乘法再利用矩阵加法来完 成此操做。 成此操做。 后面跟一平移( 矩阵相加)的线性变换( 后面跟一平移(取 1×2 矩阵相加)的线 矩阵 相乘)称为仿射变换,如上图所示。放射变换(先乘后加) 相乘)称为仿射变换,如上图所示。放射变换(先乘后加)能够通过 的矩阵来实现,若要使其起感化, 乘以一个 3*3 的矩阵来实现,若要使其起感化,平面上的点必需存储 矩阵中。 于具有虚拟第三坐标的 1×3 矩阵中。凡是的方式是使所有的第三坐 标等于 1。例如,矩阵 [2 1 1] 代表点 (2, 1)。下图演示了暗示为取 。例如, 。 矩阵相乘的仿射变换 单个 3×3 矩阵相乘的仿射变换(扭转 90 度;正在 x 标的目的上平移 3 个单元, 个单元): 个单元,正在 y 标的目的上平移 4 个单元): 正在前面的示例中, 正在前面的示例中,点 (2, 1) 映照到了点 (2, 6)。请留意,3×3 矩 。请留意, 矩阵而言, 阵的第三列包含数字 0,0,1。对于仿射变换的 3×3 矩阵而言,情 , , 。 况将老是如斯。 个数字。 况将老是如斯。主要的数字是列 1 和列 2 中的 6 个数字。矩阵左 部门暗示变换的线性部门 暗示变换的线 部门暗示变换的线 行中的前两项暗示平 移。 的矩阵做仿射变换时候, 正在利用 3*3 的矩阵做仿射变换时候,暗示点的矩阵变成了一个 1*3 矩阵,这个矩阵中的最初一个值(a[0][2])必需设置成 1。对于 矩阵,这个矩阵中的最初一个值( ) 。 3*3 矩阵 b,其最初一列的值是几多是没相关系的,由于他们不会影 ,其最初一列的值是几多是没相关系的, 响成果中的前两列。不外如上, 响成果中的前两列。不外如上,经常将他们设置为 0,0,1。这一列 , , 。 对于坐标转换的成果并没有任何影响,可是他们是必需的, 对于坐标转换的成果并没有任何影响,可是他们是必需的,由于矩阵 有任何影响 相乘必需满脚开篇所讲的“相乘的两个矩阵第一个矩阵的列数必需取 相乘必需满脚开篇所讲的 相乘的两个矩阵第一个矩阵的列数必需取 第二个矩阵的行数不异”。 第二个矩阵的行数不异 。 正在.Net Framework 中,又一个矩阵类“Matrix”。其内置了点坐 又一个矩阵类 。 标转换( 、平移 、缩放 标转换(TransformPoints) 平移(Translate) 缩放(Scale)、 ) 平移( 、 ) 缩放( 、 )、 扭转( 扭转(Rotate)方式。下面的示例建立了复合变换(先扭转 30 度, )方式。下面的示例建立了复合变换( 个单元) 的矩阵: 再正在 y 标的目的上缩放 2 倍,然后正在 x 标的目的平移 5 个单元) 的矩阵: Matrix myMatrix = new Matrix(); myMatrix.Rotate(30); myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append); myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append); 类以外, 除了 Matrix 类以外,.Net Framework 中也有其他用于坐标系转 换的类, 换的类,好比 System.Drawing.Graphics。具体用法请查阅相关文 。 档。 以上只是操纵矩阵进行平面坐标系转换的方式。 以上只是操纵矩阵进行平面坐标系转换的方式。若是是三位坐标 类不可, 系,也是能够操纵矩阵来操做的,但 Matrix 类不可,由于其本身的 也是能够操纵矩阵来操做的, 定位就是“封拆暗示几何变换的 仿射矩阵”。 定位就是 封拆暗示几何变换的 3 x 3 仿射矩阵 。 封拆表 不外,能够附上几个三维空间的扭转公式: 不外,能够附上几个三维空间的扭转公式: 是别离绕单个轴扭转的公式。 是别离绕单个轴扭转的公式。复杂的扭转能够通过这三个公 式组合而成,任何 3 维扭转矩阵都能够用这三个角 θx, θy, 和 θz 式组合而成, 来描绘, 矩阵的乘积。 来描绘,而且能够暗示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。

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